Série commutativement convergente

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Soit \(\sigma\) une bijection telle que \(\sum u_{\sigma(n)}\) converge et \(\sum u_{\sigma(n)}=\sum u_n\)
On dit alors que la série est commutativement convergente

(Permutation des termes d’une série)

Propriétés

Convergence et convergence absolue

Une série commutativement convergente est absolument convergente si et seulement si elle converge

(Série absolument convergente)

Lemme du grand n'importe-quoi

Soit \(\sum u_n\) convergente et \(\sum\lvert u_n\rvert=+\infty\)
Alors pour tout \(\lambda\in{\Bbb R}\), il existe une bijection \(\sigma:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) telle que $$\sum^n_{k=0}u_{\sigma(n)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\lambda$$

Consigne: Montrer que si \(\sum u_n\) est convergente si et \(\sum\lvert u_n\rvert=+\infty\), alors pour tout \(\lambda\in{\Bbb R}\), il existe une bijection \(\sigma:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) telle que $$\sum^n_{k=0}u_{\sigma(n)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\lambda$$

Soient $$P=\{u_n\mid u_n\geqslant0\}\quad\text{ et }\quad N=\{u_n\mid u_n\lt 0\}$$

On a $$\sum u_n^+=\sum u_n^-=+\infty$$ donc \(\operatorname{Card} P=\operatorname{Card} N=+\infty\)

Puisque \(\sigma\) est une bijection, on a : $$\begin{align} P&=\{u_{\sigma(n)}\geqslant u_{\sigma(n+1)}\longrightarrow0^+\}\\ I&=\{u_{\sigma(n)}\leqslant u_{\sigma(n+1)}\longrightarrow0^-\}\end{align}$$
Puisque \(\sum^n_{k=0}u_{\sigma(n)}^+{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty\), on a : $$\exists n_1,\quad\sum^{n_1-1}_{k=0}u_{\sigma(n)}^+\leqslant\lambda\lt \sum^{n_1}_{k=0} u_{\sigma(n)}^+$$

Itération : on repars en ajoutant des termes négatifs et on arrête dés qu'on passe \(\lambda\) dans l'autre sens \(\checkmark\)

Soit \(\sum u_n\) une série convergente et \(\sum\lvert u_n\rvert=+\infty\)
Alors $$\exists\sigma,{{\quad\sum u_{\sigma(n)}\longrightarrow+\infty}}$$